Epicicloide

La epicicloide es la curva generada por la trayectoria de un punto perteneciente a una circunferencia (generatriz) que rueda, sin deslizamiento, por el exterior de otra circunferencia (directriz). Es un tipo de ruleta cicloidal.

La curva roja es una epicicloide trazada a medida que el pequeño círculo (radio r = 1) gira sobre la circunferencia de un círculo mayor (radio R = 3).

Ecuación

Considerando la figura podemos escribir:

(1) $x=(r_{1}+r_{2})\mathrm {sen} \ \alpha \ -r_{2}\ \mathrm {cos} \gamma$

(2) $y=(r_{1}+r_{2})\mathrm {cos} \ \alpha \ +r_{2}\ \mathrm {sen} \gamma$

con $\gamma =\alpha +\beta -\pi /2$ y, además, como la circunferencia rueda sin deslizamiento, los arcos l1 y l2 son iguales, i.e: $r_{1}\ \alpha =l_{1}=l_{2}=r_{2}\ \beta$ . De aquí se tiene que $\beta ={\frac {r_{1}}{r_{2}}}\alpha$

Sustituyendo β y γ en las ecuaciones [1] y [2] tenemos la ecuación paramétrica de la epicicloide: $x=(r_{1}+r_{2})\mathrm {sen} \ \alpha \ -r_{2}\ \mathrm {sen} \ [\alpha (1+{\frac {r_{1}}{r_{2}}})]$

$y=(r_{1}+r_{2})\mathrm {cos} \ \alpha \ -r_{2}\ \mathrm {cos} \ [\alpha (1+{\frac {r_{1}}{r_{2}}})]$

Casos particulares

Cuando ${\frac {r_{1}}{r_{2}}}$ es un número racional, i.e., $k={\frac {r_{1}}{r_{2}}}={\frac {p}{q}}$ , siendo p y q números enteros, las epicicloides son curvas algebraicas.

Cuando r₁=r₂, i.e, $k=1$ obtenemos una cardioide.

Cuando r₁=2r₂, i.e, $k=2$ obtenemos una nefroide.

Ejemplos

ejemplos de epicicloides
k=1
k=2
k=3
k=4
k=2,1=21/10
k=3,8=19/5
k=5,5=11/2
k=7,2=36/5

Curvas cíclicas

Curva cíclica

La directriz es una recta
d = r	d < r	d > r
cicloide	trocoide
cicloide normal	cicloide acortada	cicloide alargada

La directriz es una circunferencia
	d = r	d < r	d > r
La generatriz es exterior a al directriz	epicicloide	epitrocoide
	epicicloide normal	epicicloide acortada	epicicloide alargada
La generatriz es interior a al directriz	hipocicloide	hipotrocoide
	hipocicloide normal	hipocicloide acortada	hipocicloide alargada
La directriz es interior a al generatriz	pericicloide	peritrocoide
	pericicloide normal	pericicloide acortada	pericicloide alargada

Véase también

Referencias en la Web

Datos: Q214556
Multimedia: Epicycloid / Q214556

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