En matemáticas, la topología del límite inferior, llamada también en ocasiones topología de Sorgenfrey es una topología definida sobre la recta real. Al espacio topológico resultante, denotado por ${\displaystyle \mathbb {R} _{\ell }}$, se lo conoce por Recta de Sorgenfrey. Esta topología es distinta de la topología usual, y está generada por la base ${\displaystyle \beta =\{[a,b)\$ :\ a<b\}} donde ${\displaystyle a,b}$ son números reales.

La Recta de Sorgenfrey, así como su producto ${\displaystyle \mathbb {R} _{\ell }\times \mathbb {R} _{\ell }}$, el Plano de Sorgenfrey, son una fuente de contraejemplos muy utilizados en topología. Ambos espacios deben su nombre a Robert Sorgenfrey.

Propiedades

• La topología del límite inferior es una topología estrictamente más fina que la topología usual, esto es, todo abierto en ${\displaystyle \mathbb {R} }$ con la topología usual es abierto en ${\displaystyle \mathbb {R} _{\ell }}$, puesto que podemos escribir un abierto ${\displaystyle (a,b)}$ de la base de la topología usual como ${\displaystyle (a,b)=\bigcup _{n\in \mathbb {N} }[a+{(b-a) \over 2n},b)}$, unión de abiertos de la base de ${\displaystyle \mathbb {R} _{\ell }}$. Sin embargo, los propios abiertos de la base de ${\displaystyle \mathbb {R} _{\ell }}$ no son abiertos en la topología usual.

• Los intervalos con la forma ${\displaystyle [a,b)}$, ${\displaystyle [a,+\infty )}$ y ${\displaystyle (-\infty ,a)}$ son abiertos y cerrados en la recta de Sorgenfrey. Además, los puntos son cerrados, pero no son abiertos.^[1]

• ${\displaystyle \mathbb {R} _{\ell }}$ es un espacio totalmente disconexo, lo que quiere decir que la componente conexa de cada punto es él mismo.

• En términos de axiomas de separación, ${\displaystyle \mathbb {R} _{\ell }}$ es un espacio Hausdorff perfectamente normal. Como consecuencia, también es T₀ y T₁.

• En términos de axiomas de numerabilidad, es ANI^[2] y separable,^[1] pero no es ANII.

• En términos de compacidad, es Lindelöf (cada recubrimiento abierto admite subrecubrimiento numerable) y paracompacto, pero no es σ-compacto ni localmente compacto.

• ${\displaystyle \mathbb {R} _{\ell }}$ no es metrizable dado que los espacios metrizables y separables son ANII. Sin embargo, la topología en la Recta de Sorgenfrey está generada por una premétrica.

• ${\displaystyle \mathbb {R} _{\ell }}$ es un espacio de Baire .

Véase también

• Espacio topológico
• Espacio de Hausdorff
• Espacio metrizable

Bibliografía

• Munkres, James; Topology, Prentice Hall; 2ª ed. (29 de diciembre de 1999). ISBN 0-13-181629-2
• Steen, Lynn Arthur; Seebach, J. Arthur Jr. (1995) [1978], Counterexamples in Topology (Dover reprint of 1978 edición), Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-486-68735-3, MR 507446 .
• B. Mendelson, Introduction to topology, Dover Publications, New York, 1990.

Referencias