En teoría de números, un número altamente poderoso (o también número muy poderoso) es un número entero positivo que satisface una propiedad introducida por el matemático indocanadiense Mathukumalli V. Subbarao.^[1] El conjunto de números altamente poderosos es un subconjunto propio del conjunto de los números poderosos.

Sea prodex(1) = 1, y sea ${\displaystyle n}$ un entero positivo, tal que

${\displaystyle n=\prod _{i=1}^{k}p_{i}^{e_{p_{i}}(n)}}$

donde ${\displaystyle p_{1},\ldots ,p_{k}}$ son ${\displaystyle k}$ números primos distintos en orden creciente y ${\displaystyle e_{p_{i}}(n)}$ es un entero positivo para ${\displaystyle i=1,\ldots ,k}$. Entonces, se define

${\displaystyle \operatorname {prodex} (n)=\prod _{i=1}^{k}e_{p_{i}}(n)}$. (sucesión A005361 en OEIS)

El entero positivo ${\displaystyle n}$ se define como un número altamente poderoso si y solo si, para cada entero positivo ${\displaystyle m,\,1\leq m<n}$ implica que ${\displaystyle \operatorname {prodex} (m)<\operatorname {prodex} (n).}$^[2]

Los primeros 25 números altamente poderosos son: 1, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 144, 216, 288, 432, 864, 1296, 1728, 2592, 3456, 5184, 7776, 10368, 15552, 20736, 31104, 41472, 62208, 86400. (sucesión A005934 en OEIS)

Referencias