Elemento conjugado

En matemáticas, los elementos conjugados de un elemento algebraico x en un cuerpo K son las raíces de su polinomio mínimo en K, en una extensión L de K donde este polinomio es dividido (es decir, se puede expresar como un producto de monomios).

De manera equivalente, los conjugados de x son la imagen de x generada por los K-automorfismos de L/K.

Ejemplos

Si α es un elemento de K, su polinomio mínimo sobre K es X – α, por lo tanto, su único conjugado sobre K es él mismo.
Si $α = a + i b$ es un número complejo no real, es decir, si su parte imaginaria b no es cero, entonces su polinomio mínimo en ℝ es $(X - α)(X - α) = X 2 - 2 aX + a 2 + b 2$ , y por lo tanto, sus conjugados en ℝ son $α$ y su número complejo conjugado α.
Las raíces cúbicas de la unidad en ℂ son

1,\quad \mathrm {j} =\mathrm {e} ^{\frac {2\mathrm {i} \pi }{3}}={\frac {-1+\mathrm {i} {\sqrt {3}}}{2}}\quad {\text{y}}\quad \mathrm {j} ^{2}={\overline {\mathrm {j} }}=\mathrm {e} ^{\frac {-2\mathrm {i} \pi }{3}}={\frac {-1-\mathrm {i} {\sqrt {3}}}{2}}.

En ℚ, $j$ y $j 2$ tienen el polinomio mínimo común $X 2 + X + 1$ y son conjugados. De manera más general, las raíces primitivas $n$ -ésimas de la unidad en ℂ tienen un polinomio mínimo en ℚ, el $n$ -ésimo polinomio ciclotómico, y son conjugadas en ℚ.

Propiedades

El polinomio mínimo de $α$ en $K$ se divide entre cualquier extensión normal $L$ de $K$ que contenga $α$ (por ejemplo, una clausura algebraica de $K$ , o incluso solo un cuerpo de descomposición del polinomio).^[1] Los conjugados de $α$ son entonces las imágenes de $α$ por los elementos del grupo de Galois de la extensión.
Sea $α$ un número entero algebraico distinto de cero y $| α |$ , el mayor de los módulos de sus conjugados sobre ℚ. Kronecker demostró^[2]^[3]^[4] que

Si $| α |$ es menor o igual a 1, $α$ es la raíz de la unidad;
Si $| α |$ es menor o igual a 2 y $α$ es totalmente real, es decir, si todos los conjugados de $α$ sobre ℚ pertenecen al intervalo real [–2, 2], entonces $α$ es de la forma $2 cos(π r)$ para un determinado $r$ racional.

El punto 1 se puede deducir del siguiente lema (utilizado también en otra parte de la prueba del teorema de las unidades de Dirichlet):^[5]^[6] para cualquier entero $n$ y cualquier real $C$ , existe solo un número finito de enteros algebraicos $α$ tales que el grado (del polinomio mínimo) de $α$ es menor o igual que $n$ y que $| α | \leq C$ .

Demostración
* Prueba del lema: los coeficientes del polinomio mínimo $P$ de $α$ son funciones simétricas de los conjugados de $α$ . Si el grado de $P$ y los conjugados de α están acotados, entonces estos coeficientes también están acotados (ya que son números enteros) y solo pueden tomar un número finito de valores. Así, el conjunto considerado es finito, como el conjunto de raíces de un número finito de polinomios. Prueba del punto 1: si $α$ es de grado $n$ , entonces todas sus potencias son de grado menor o igual a $n$ . Al aplicar el lema para $C = 1$ , se deduce que estas potencias son finitas, lo que nos permite comprobar la proposición.

Existen varios refinamientos del punto 1 proporcionando, según el grado de $α$ , un aumento de |α| menos restrictivo pero suficiente para que α sea la raíz de la unidad.^[3]

Conjugados de un polinomio

Supóngase que $f (x)$ es un polinomio separable e irreducible en $K [X]$ , y que existe una extensión $M / K$ y un polinomio $g$ en $M [X]$ de modo que $g$ divide $f$ en $M [X]$ . Si se denomina L al cuerpo de descomposición de $f$ en $K$ , $L / K$ es galoisiano y $L [X]/ K [X]$ es isomorfo a $L / K$ . Además, los coeficientes de $g$ pertenecen a L. En particular, el polinomio $g$ es algebraico en $K [X]$ , y por tanto tiene elementos conjugados en $K [X]$ : el conjunto de conjugados de $g$ se obtiene aplicando los automorfismos de $Gal(L / K)$ sobre los coeficientes de $g$ .

Propiedades

Es natural pensar que el producto de los conjugados de $g$ es igual a $f$ , pero esto es incorrecto, a menos que $g$ sea irreducible y $f$ sea primitivo, en el sentido de que $L / K$ es generado por una sola raíz de $f$ .

En general, el producto de los conjugados de $g$ es igual a $cf n$ , donde $c$ pertenece al campo $K$ y $n$ es un número natural.

Referencias

↑ Lang, Serge (1978). Algebra (en inglés) (8ª reimpr. edición). p. 182.
↑ Kronecker, Leopold (1857). «Zwei Sätze über Gleichungen mit ganzzahligen Coefficienten». J. reine angew. Math. Journal für die reine und angewandte Mathematik (en alemán) 53: 173-175.
1 2 Władysław Narkiewicz (2004). Springer, ed. Elementary and Analytic Theory of Algebraic Numbers (en inglés) (3 edición). p. 49 y 71 de 712. ISBN 978-3-540-21902-6.
↑ James Fraser McKee; C. Smyth (2008). «Conjugate algebraic numbers on conics: A survey». En CUP, ed. Number Theory and Polynomials. LMS Lecture Note Series (en inglés) (Cambridge University Press) (352): 211-240. ISBN 978-0-52171467-9.
↑ Janusz, Gerald J. (1973). «55». En Academic Press, ed. Algebraic Number Fields. Pure and Applied Mathematics (en inglés) (55) (3 edición). p. 220. ISBN 978-0-12-380250-7.
↑ Lang, Serge (1994). «Algebraic Number Theory». En Springer, ed. GTM (en inglés) (110) (2 edición). pp. 105 de 357. ISBN 978-0-387-94225-4.

Véase también

Enlaces externos

Portal:Matemáticas. Contenido relacionado con Matemáticas.
Weisstein, Eric W. «Conjugate Elements». En Weisstein, Eric W, ed. MathWorld (en inglés). Wolfram Research.

Datos: Q714220

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[1] Lang, Serge (1978). Algebra (en inglés) (8ª reimpr. edición). p. 182.

[2] Kronecker, Leopold (1857). «Zwei Sätze über Gleichungen mit ganzzahligen Coefficienten». J. reine angew. Math. Journal für die reine und angewandte Mathematik (en alemán) 53: 173-175.

[Narkiewicz-3] 1 2 Władysław Narkiewicz (2004). Springer, ed. Elementary and Analytic Theory of Algebraic Numbers (en inglés) (3 edición). p. 49 y 71 de 712. ISBN 978-3-540-21902-6.

[4] James Fraser McKee; C. Smyth (2008). «Conjugate algebraic numbers on conics: A survey». En CUP, ed. Number Theory and Polynomials. LMS Lecture Note Series (en inglés) (Cambridge University Press) (352): 211-240. ISBN 978-0-52171467-9.

[5] Janusz, Gerald J. (1973). «55». En Academic Press, ed. Algebraic Number Fields. Pure and Applied Mathematics (en inglés) (55) (3 edición). p. 220. ISBN 978-0-12-380250-7.

[6] Lang, Serge (1994). «Algebraic Number Theory». En Springer, ed. GTM (en inglés) (110) (2 edición). pp. 105 de 357. ISBN 978-0-387-94225-4.

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