Principio del diamante

El principio del diamante ◊ dice que existe una secuencia ◊, una familia de conjuntos A_α ⊆ α para α < ω₁ tal que para cualquier subconjunto A de ω₁ el conjunto de α con A ∩ α = A_α es estacionario en ω₁.

Existen varias formas equivalentes del principio del diamante. Uno afirma que hay una colección contable A_α de subconjuntos de α para cada ordinal contable α, de modo que para cualquier subconjunto A de ω₁ hay un subconjunto estacionario C de ω₁ de modo que para todos los α en C se tiene que A ∩ α ∈ A_α y C ∩ α ∈ A_α. Otra forma equivalente establece que existen conjuntos A_α ⊆ α para α < ω₁ tales que para cualquier subconjunto A de ω₁ hay al menos un α infinito con A ∩ α = A_α.

De manera más general, para un cardinal κ dado y un conjunto estacionario S ⊆ κ, la declaración ◊_S (a veces escrita ◊(S) o ◊_κ(S)) es la declaración de que existe un sucesión ⟨A_α : α ∈ S⟩ tal que

• Cada A_α ⊆ α
• Para cada A ⊆ κ, {α ∈ S : A ∩ α = A_α} es estacionario en κ

El principio ◊_ω1 es el mismo que ◊.

El principio del diamante plus ◊⁺ establece que existe una secuencia ◊⁺, en otras palabras, una colección numerable A_α de subconjuntos de α para cada ordinal contable α tal que para cualquier subconjunto A de ω₁ hay un subconjunto ilimitado cerrado C de ω₁, de modo que para todos los α en C se tiene que A ∩ α ∈ A_α y C ∩ α ∈ A_α.

Jensen (1972) demostró que el principio del diamante ◊ implica la existencia del árbol de Suslin. También demostró que V = L implica el principio del diamante plus, que implica el principio del diamante, que a su vez implica la hipótesis del continuo (HC). En particular, el principio del diamante y el principio del diamante plus son ambos independientes de los axiomas de Zermelo-Fraenkel. También ♣ + HC implica ◊, pero Shelah dio modelos de ♣ + ¬ HC, por lo que ◊ y ♣ no son equivalentes (más bien, ♣ es más débil que ◊).

Matet demostró que el principio ${\displaystyle \diamondsuit _{\kappa }}$ es equivalente a una propiedad de las particiones de ${\displaystyle \kappa }$ con intersección diagonal de los segmentos iniciales de las particiones estacionarias en ${\displaystyle \kappa }$.[2]

El principio del diamante ◊ no implica la existencia de un árbol de Kurepa, pero el principio ◊⁺ más fuerte implica tanto el principio ◊ como la existencia de un árbol de Kurepa.

Akemann y Weaver (2004) usó ◊ para construir un C*-álgebra que sirviera como contraejemplo para el problema de Naimark.

Para todos los cardinales κ y conjuntos estacionarios S ⊆ κ⁺, ◊_S se mantiene en universo constructible. Shelah (2010) demostró que para κ > ℵ₀, ◊_κ⁺(S) se deriva de 2^κ = κ⁺ para S estacionario que no contiene ordinales de cofinalidad κ.

Shelah demostró que el principio del diamante resuelve el problema de Whitehead al implicar que cada grupo de Whitehead es libre.

• Anexo:Declaraciones independientes de los axiomas de Zermelo-Frankel
• Declaraciones verdaderas en L

• Akemann, Charles; Weaver, Nik (2004). «Consistency of a counterexample to Naimark's problem». Proceedings of the National Academy of Sciences 101 (20): 7522-7525. Bibcode:2004PNAS..101.7522A. MR 2057719. PMC 419638. PMID 15131270. arXiv:math.OA/0312135. doi:10.1073/pnas.0401489101.
• Jensen, R. Björn (1972). «The fine structure of the constructible hierarchy». Annals of Mathematical Logic 4 (3): 229-308. MR 0309729. doi:10.1016/0003-4843(72)90001-0.
• Rinot, Assaf (2011). «Jensen's diamond principle and its relatives». Set theory and its applications. Contemporary Mathematics 533. Providence, RI: AMS. pp. 125-156. Bibcode:2009arXiv0911.2151R. ISBN 978-0-8218-4812-8. MR 2777747. arXiv:0911.2151.
• Shelah, Saharon (1974). «Infinite Abelian groups, Whitehead problem and some constructions». Israel Journal of Mathematics 18 (3): 243-256. MR 0357114. S2CID 123351674. doi:10.1007/BF02757281.
• Shelah, Saharon (2010). «Diamonds». Proceedings of the American Mathematical Society 138 (6): 2151-2161. doi:10.1090/S0002-9939-10-10254-8.