En matemáticas, una transformación de Tschirnhaus, desarrollada por Ehrenfried Walther von Tschirnhaus en 1683, es un tipo de asignación de polinomios. Puede definirse convenientemente por medio de la teoría de cuerpos , como la transformación en polinomios mínimos que implica una elección diferente de elemento primitivo . Esta es la transformación más general de un polinomio irreducible que lleva cada raíz a la aplicación de una cierta función racional sobre esa raíz.

En concreto, sea ${\displaystyle K[t]}$ un cuerpo, y ${\displaystyle P(t)}$ un polinomio sobre ${\displaystyle K}$. Si ${\displaystyle P}$ es irreducible, entonces ${\displaystyle K[t]/(P(t))=L}$, es el anillo cociente del anillo de polinomios ${\displaystyle K[t]}$ por el ideal principal generado por ${\displaystyle P}$, es una extensión del cuerpo ${\displaystyle K}$. Tenemos

${\displaystyle L=K(\alpha )}$

donde ${\displaystyle \alpha }$ es ${\displaystyle t}$ módulo ${\displaystyle (P)}$. Es decir, ${\displaystyle \alpha }$ es un elemento primitivo de ${\displaystyle L}$. Habrá otras opciones ${\displaystyle \beta }$ como elemento primitivo en ${\displaystyle L}$: para cualquier opción de este tipo de ${\displaystyle \beta }$ tendremos

${\displaystyle \beta =F(\alpha ),\alpha =G(\beta )}$,

polinomios con ${\displaystyle F}$ y ${\displaystyle G}$ sobre ${\displaystyle K}$. De hecho esto se deriva del cociente de la representación anterior. Ahora bien, si ${\displaystyle Q}$ es el polinomio mínimo de ${\displaystyle \beta }$ sobre ${\displaystyle K}$, a ${\displaystyle Q}$ lo llamamos una transformación de Tschirnhaus de ${\displaystyle P}$.

Por lo tanto el conjunto de todas las transformaciones de Tschirnhaus de un polinomio irreducible se describe como todas las formas de cambiar ${\displaystyle P}$, pero dejando ${\displaystyle L}$ invariante. Este concepto se utiliza en la reducción de quínticas a forma de Bring-Jerrard, por ejemplo. Este concepto está relacionado con la teoría de Galois, cuando ${\displaystyle L}$ es una extensión de Galois de ${\displaystyle K}$. En ese caso, el grupo de Galois se describe como todas las transformaciones de Tschirnhaus de ${\displaystyle P}$ a sí mismo.

Referencias

• Weisstein, Eric W. «Tschirnhausen Transformation». En Weisstein, Eric W, ed. MathWorld (en inglés). Wolfram Research. 
• https://web.archive.org/web/20090226035640/http://www.sigsam.org/bulletin/articles/143/tschirnhaus.pdf A translation (by RF Green) of his 1683 paper—A method for removing all intermediate terms from a given equation.