En matemáticas, más específicamente en álgebra homológica, el lema de escisión declara que, en cualquier categoría abeliana, las tres proposiciones para una secuencia exacta corta que se exponen a continuación son equivalentes.

Dada una secuencia exacta corta con morfismos q y r, entre los objetos de la categoría:

${\displaystyle 0\longrightarrow A{\overset {q}{\longrightarrow }}B{\overset {r}{\longrightarrow }}C\longrightarrow 0}$

Sobre la que añadimos las flechas adicionales t y u para señalar unos morfismos que podrían no existir:

${\displaystyle 0\longrightarrow A{{\overset {q}{\longrightarrow }} \atop {\underset {t}{\longleftarrow }}}B{{\overset {r}{\longrightarrow }} \atop {\underset {u}{\longleftarrow }}}C\longrightarrow 0.}$

Tenemos que las proposiciones siguientes son equivalentes:

• Escisión izquierda: Existe un morfismo t: B → A tal que tq es la identidad en A.
• Escisión derecha: Existe un morfismo u: C → B tal que ru es la identidad en C.
• Suma directa: B es isomorfo a la suma directa de A y C, con q correspondiendo a la inyección natural de A y r correspondiendo a la proyección natural en C. De forma más precisa, hay un isomorfismo de secuencias exactas cortas entre la secuencia dada y la secuencia con B sustituido por la suma directa de A y C, donde los morfismos son la inclusión y proyección canónicas. Sólo un isomorfismo de B con la suma directa no es suficiente.

La secuencia exacta corta se dice escindida si estas proposiciones se cumplen.

Referencias

• Saunders Mac Lane: Homology. Reprint of the 1975 edition, Springer Classics in Mathematics, ISBN 3-540-58662-8, p.16
• Allen Hatcher: Algebraic Topology. 2002, Cambridge University Press, ISBN 0-521-79540-0, p.147