ISO 31-11

ISO 31-11:1992 fue la parte del estándar internacional ISO 31 que define signos y símbolos matemáticos para su uso en ciencias físicas y tecnología. Fue reemplazado en 2009 por el ISO 80000-2:2009 y posteriormente revisado en 2019 como ISO-80000-2:2019.[1]

Sus definiciones incluyen las siguientes: [2]

Lógica matemática

Signo	Ejemplo	Nombre	Significado y equivalente verbal	Observaciones
∧	p ∧ q	signo deconjunción	p y q
∨	p ∨ q	signo de disyunción	p o q (o ambos)
¬	¬p	signo de negación	negación de p; no p; excepto p
⇒	p ⇒ q	signo de implicación	si p entonces q; p implica q	También se puede escribir como q ⇐ p. A veces se utiliza →.
∀	∀x∈A p(x) (∀x∈A) p(x)	cuantificador universal	para cada x perteneciente a A, la proposición p(x) es verdadera	El «∈A» se puede eliminar cuando A queda claro por el contexto.
∃	∃x∈A p(x) (∃x∈A) p(x)	cuantificador existencial	existe una x perteneciente a A para la cual la proposición p(x) es verdadera	El «∈A» se puede eliminar cuando A queda claro por el contexto. ∃! se utiliza donde existe exactamente una x para la cual p(x) es verdadera.

Conjuntos

Ejemplo	Significado y equivalente verbal	Observaciones
x ∈ A	x pertenece a A; x es un elemento del conjunto de A
x ∉ A	x no pertenece a A; x no es un elemento del conjunto de A	La barra de negación puede ser vertical.
A ∋ x	el conjunto de A contiene x (como elemento)	mismo significado que x ∈ A
A ∌ x	el conjunto de A no contiene x (como elemento)	mismo significado que x ∉ A
{x₁, x₂, ..., x_n}	conjunto con elementos x₁, x₂, ..., x_n	también {x_i \| i ∈ I}, donde I denota un conjunto
{x ∈ A \| p(x)}	conjunto de los elementos de A para los que la proposición p(x) es verdadera	Ejemplo: {x ∈ $\mathbb {R}$ \| x > 5} ∈A se puede eliminar cuando este conjunto queda claro por el contexto.
card(A)	número de elementos en A; cardinal de A
A ∖ B	diferencia entre A y B; A menos B	El conjunto de elementos que pertenece a A pero no a B. A ∖ B = { x \| x ∈ A ∧ x ∉ B } A − B también sería válido.
	el conjunto vacío
	el conjunto de números naturales; el conjunto de números positivos y el cero.	$\mathbb {N}$ = {0, 1, 2, 3, ...} La exclusión del cero se muestra con un asterisco: $\mathbb {N}$ ^* = {1, 2, 3, ...} $\mathbb {N}$ _k = {0, 1, 2, 3, ..., k − 1}
	el conjunto de integers	$\mathbb {Z}$ = {..., −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, ...} $\mathbb {Z}$ ^* = $\mathbb {Z}$ ∖ {0} = {..., −3, −2, −1, 1, 2, 3, ...}
	el conjunto de números racionales	$\mathbb {Q}$ ^* = $\mathbb {Q}$ ∖ {0}
	el conjunto de números reales	$\mathbb {R}$ ^* = $\mathbb {R}$ ∖ {0}
	el conjunto de números complejos	$\mathbb {C}$ ^* = $\mathbb {C}$ ∖ {0}
[a,b]	intervalo cerrado en $\mathbb {R}$ de a (incluido) a b (incluido)	[a,b] = {x ∈ $\mathbb {R}$ \| a ≤ x ≤ b}
]a,b] (a,b]	mitad izquierda de intervalo abierta en $\mathbb {R}$ de a (excluida) a b (incluida)	]a,b] = {x ∈ $\mathbb {R}$ \| a < x ≤ b}
[a,b[ [a,b)	mitad izquierda de intervalo abierta en $\mathbb {R}$ de a (incluida) a b (excluida)	[a,b[ = {x ∈ $\mathbb {R}$ \| a ≤ x < b}
]a,b[ (a,b)	intervalo abierto en $\mathbb {R}$ de a (excluida) a b (excluida)	]a,b[ = {x ∈ $\mathbb {R}$ \| a < x < b}
B ⊆ A	B se incluye en A; B es un subconjunto de A	Todo elemento de B pertenece a A. ⊂ también se usa.
B ⊂ A	B se incluye en A; B es un subconjunto A	Todo elemento de B pertenece a A, pero B no es igual a A. Si ⊂ se usa para «incluido», entonces ⊊ indicaría «incluido adecuadamente».
C ⊈ A	C no se incluye en A; C no es un subconjunto de A	También se usa ⊄.
A ⊇ B	A incluye B (como subconjunto)	A contiene cada elemento de B. También se usa ⊃. B ⊆ A es lo mismo que A ⊇ B.
A ⊃ B.	A incluye B adecuadamente.	A contiene cada elemento de B, pero A no es igual a B. Si ⊃ se usa para «incluir», ⊋ se usaría para «incluir adecuadamente».
A ⊉ C	A no incluye C (como conjunto)	También se usa ⊅. A ⊉ C significa lo mismo que C ⊈ A.
A ∪ B	unión de A y B	El conjunto de elementos que pertenece a A o B o ambas A y B. A ∪ B = { x \| x ∈ A ∨ x ∈ B }
$\bigcup _{i=1}^{n}A_{i}$	unión de varios conjuntos	$\bigcup _{i=1}^{n}A_{i}=A_{1}\cup A_{2}\cup \ldots \cup A_{n}$ , el conjunto de elementos que pertenece a al menos uno de los conjuntos $A 1, ..., A n$ . $\bigcup {}_{i=1}^{n}$ y $\bigcup _{i\in I}$ , $\bigcup {}_{i\in I}$ también se usan, donde «I» indica un conjunto de indicios.
A ∩ B	intersección de A y B	Conjunto de elementos que pertenecen a A y B. A ∩ B = { x \| x ∈ A ∧ x ∈ B }
$\bigcap _{i=1}^{n}A_{i}$	intersección de varios conjuntos	$\bigcap _{i=1}^{n}A_{i}=A_{1}\cap A_{2}\cap \ldots \cap A_{n}$ , el conjunto de elementos perteneciente a todos los conjuntos $A 1, ..., A n$ . $\bigcap {}_{i=1}^{n}$ y $\bigcap _{i\in I}$ , $\bigcap {}_{i\in I}$ también se puede usar, donde «I» denota un conjunto de indicios.
∁_AB	complemento del subconjunto B de A	El conjunto de los elementos de A que no pertenecen al subconjunto B. El símbolo A está limitad a veces si el conjunto A está libre de contexto. Además ∁_AB = A ∖ B.
(a, b)	pareja ordenada a, b; pareja a, b	(a, b) = (c, d) si, y solo si, a = c y b = d. ⟨a, b⟩ también se usa.
(a₁, a₂, ..., a_n)	n-tupla ordenada	También se usa ⟨a₁, a₂, ..., a_n⟩.
A × B	producto cartesiano de A y B	El conjunto de parejas ordenadas (a, b) como a ∈ A y b ∈ B. A × B = { (a, b) \| a ∈ A ∧ b ∈ B } A × A × ⋯ × A se representa con Aⁿ, donde n es el número de factores del producto.
Δ_A	conjunto de parejas (a, a) ∈ A × A donde a ∈ A; diagonal del conjunto A × A	Δ_A = { (a, a) \| a ∈ A } id_A también se usa.

Signos y símbolos varios

Signo		Ejemplo	Significado y equivalente verbal	Observaciones
HTML	TeX	Ejemplo	Significado y equivalente verbal	Observaciones
≝	${\stackrel {\mathrm {def} }{=}}$	a ≝ b	a es por definición igual a b [2]	:= también se usa.
=	$=$	a = b	a es igual a b	≡ se puede usar para enfatizar que una igualdad particular es una identidad.
≠	$\neq$	a ≠ b	a no es igual a b	$a\not \equiv b$ se puede usar para enfatizar que a no es igual a b.
≙	${\stackrel {\wedge }{=}}$	a ≙ b	a corresponde con b	En un mapa de escala 1:10⁶: 1 cm ≙ 10 km.
≈	$\approx$	a ≈ b	a es aproximadamente igual a b	El símbolo ≃ se reserva para «es asintomáticamente igual a ».
∼ ∝	${\begin{matrix}\sim \\\propto \end{matrix}}$	a ∼ b a ∝ b	a es proporcional a b
<	<	a < b	a es menor que b
>	>	a > b	a es mayor que b
≤	$\leq$	a ≤ b	a es menor o igual que b	También se usa el símbolo ≦.
≥	$\geq$	a ≥ b	a es mayor o igual que b	También se usa el símbolo ≧.
≪	$\ll$	a ≪ b	a es mucho menor que b
≫	$\gg$	a ≫ b	a es mucho mayor que b
∞	$\infty$		infinito
() [] {} ⟨⟩	${\begin{matrix}()\\{[]}\\\{\}\\\langle \rangle \end{matrix}}$	${\begin{matrix}{(a+b)c}\\{[a+b]c}\\{\{a+b\}c}\\{\langle a+b\rangle c}\end{matrix}}$	ac + bc, paréntesis ac + bc, corchetes ac + bc, llaves ac + bc, paréntesis triangulares	En álgebra, la secuencia $(),[],\{\},\langle \rangle$ no está estandarizada. Los usos especiales de $(),[],\{\},\langle \rangle$ se dan en campos particulares.
∥	$\\|$	AB ∥ CD	la línea AB es paralela con CD.
⊥	$\perp$	AB ⊥ CD	la línea AB es perpendicular con CD.

Operaciones

Signo	Ejemplo	Significado y equivalente verbal	Observaciones
+	a + b	a más b
−	a - b	a menos b
±	a ± b	a más o menos b
∓	a ∓ b	a menos o más b	−( a ± b ) = −a ∓ b

Funciones

Ejemplo	Significado y equivalente verbal	Observaciones
f : D → C	la función f tiene dominio D y codominio C	Se utiliza para definir explícitamente el dominio y el codominio de una función.
f (S)	{ f ( x ) \| x∈S }	Conjunto de todas las salidas posibles en el codominio cuando se dan entradas de S, un subconjunto del dominio de f .

Funciones exponenciales y logarítmicas

Ejemplo	Significado y equivalente verbal	Observaciones
e	base de logaritmos naturales	e = 2,718·28...
e^x	función exponencial en base e de x
log_ax	logaritmo en base a de x
lb x	logaritmo binario (en base 2) de x	lb x = log₂x
ln x	logaritmo natural (en base e) de x	ln x = log_ex
lg x	logaritmo común (en base 10) de x	lg x = log₁₀x

Funciones circulares e hiperbólicas

Ejemplo	Significado y equivalente verbal	Observaciones
π	relación entre la circunferencia de un círculo y su diámetro.	π = 3.141 59...

Números complejos

Ejemplo	Significado y equivalente verbal	Observaciones
i, j	unidad imaginaria; i² = −1	En electrotecnología, generalmente se utiliza j.
Re z	parte real de z	z = x + iy, donde x = Re z e y = Im z
Im z	parte imaginaria de z	z = x + iy, donde x = Re z e y = Im z
\| z \|	valor absoluto de z; módulo de z	También se utiliza «mod z».
arg z	argumento de z; fase de z	z = re^iφ, donde r = \| z \| y φ = arg z, es decir, Re z = r cos φ y Im z = r sin φ
z *	(complejo) conjugado de z	a veces se usa una barra encima de z en lugar de z ^*
sgn z	función signo z	sgn z = z / \| z \| = exp(i arg z) para z ≠ 0, sgn 0 = 0

Matrices

Ejemplo	Significado y equivalente verbal	Observaciones
A	matriz A

Sistemas coordinados

Coordenadas	Vector de posición y su diferencial	Nombre del sistema de coordenadas	Observaciones
x, y, z	[x y z ]; [dx dy dz]	cartesiano	También se utilizan x₁, x₂, x₃ para las coordenadas y e₁, e₂, e₃ para los vectores base. Esta notación se generaliza fácilmente al espacio n-dimensional. e_x, e_y, e_z forman un sistema ortonormal diestro. Para los vectores base, también se utilizan i, j, k.
ρ, φ, z	[x, y, z] = [ρ cos(φ), ρ sin(φ), z]	cilíndrico	e_ρ (φ), e_φ (φ), e_z forman un sistema ortonormal diestro. Si z = 0, entonces ρ y φ son las coordenadas polares.
r, θ, φ	[x, y, z] = r[sin(θ)cos(φ), sin(θ)sin(φ), cos(θ)]	esférico	e_r (θ, φ), e_θ (θ, φ), e_φ (φ) forman un sistema ortonormal diestro.

Vectores y tensores

Ejemplo	Significado y equivalente verbal	Observaciones
a ${\vec {a}}$	vector a	En lugar de negrita y cursiva, los vectores también se pueden indicar mediante una flecha encima del símbolo de la letra. Cualquier vector a puede multiplicarse por un escalar k, es decir k a.

Funciones especiales

Ejemplo	Significado y equivalente verbal	Observaciones
$J l (x)$	Funciones cilíndricas de Bessel (del primer tipo)	...

Véase también

Referencias

«ISO 80000-2:2019». International Organization for Standardization. 19 de mayo de 2020. Consultado el 4 de octubre de 2021.
Thompson, Ambler; Taylor, Barry M (March 2008). Guide for the Use of the International System of Units (SI) — NIST Special Publication 811, 2008 Edition — Second Printing. Gaithersburg, MD, USA: NIST.

Enlaces externos

«ISO 80000-2:2019». International Organization for Standardization. 19 de mayo de 2020. Consultado el 4 de octubre de 2021.
Thompson, Ambler; Taylor, Barry M (March 2008). Guide for the Use of the International System of Units (SI) — NIST Special Publication 811, 2008 Edition — Second Printing. Gaithersburg, MD, USA: NIST.

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[1] «ISO 80000-2:2019». International Organization for Standardization. 19 de mayo de 2020. Consultado el 4 de octubre de 2021.

[ISO_31-11-2] Thompson, Ambler; Taylor, Barry M (March 2008). Guide for the Use of the International System of Units (SI) — NIST Special Publication 811, 2008 Edition — Second Printing. Gaithersburg, MD, USA: NIST.