Criterio de fluencia de Drucker-Prager

El criterio de Drucker–Prager puede escribirse en función de las tensiones principales como:

${\displaystyle {\sqrt {{\cfrac {1}{6}}\left[(\sigma _{1}-\sigma _{2})^{2}+(\sigma _{2}-\sigma _{3})^{2}+(\sigma _{3}-\sigma _{1})^{2}\right]}}=A+B~(\sigma _{1}+\sigma _{2}+\sigma _{3})~.}$

Si ${\displaystyle \sigma _{t}}$ es el límite de fluencia en tracción uniaxial, el criterio de Drucker–Prager conduce a:

${\displaystyle {\cfrac {1}{\sqrt {3}}}~\sigma _{t}=A+B~\sigma _{t}~.}$

Análogamente, si ${\displaystyle \sigma _{c}}$ es el límite de fluencia en compresión uniaxial, el criterio de Drucker–Prager conduce a:

${\displaystyle {\cfrac {1}{\sqrt {3}}}~\sigma _{c}=A-B~\sigma _{c}~.}$

Resolviendo las dos ecuaciones anteriores:

${\displaystyle A={\cfrac {2}{\sqrt {3}}}~\left({\cfrac {\sigma _{c}~\sigma _{t}}{\sigma _{c}+\sigma _{t}}}\right)~;~~B={\cfrac {1}{\sqrt {3}}}~\left({\cfrac {\sigma _{t}-\sigma _{c}}{\sigma _{c}+\sigma _{t}}}\right)~.}$

El modelo de Drucker-Prager es capaz de predecir distintos límites de fluencia en tracción y compresión. La relación de asimetría uniaxial para el modelo de Drucker–Prager es:

${\displaystyle \beta ={\cfrac {\sigma _{\mathrm {c} }}{\sigma _{\mathrm {t} }}}={\cfrac {1-{\sqrt {3}}~B}{1+{\sqrt {3}}~B}}~.}$

Puesto que la superficie de fluencia de Drucker–Prager es una versión más ajustada de la superficie de fluencia de Mohr-Coulomb, el modelo de Drucker-Prager es a menudo expresado en función de la cohesión (${\displaystyle c}$) y el ángulo de fricción interna (${\displaystyle \phi }$) que son utilizados para describir la superficie de fluencia de Mohr-Coulomb. Si se asume que la superficie de fluencia de Drucker-Prager circunscribe a superficie de fluencia de Mohr–Coulomb, entonces las expresiones para ${\displaystyle A}$ y ${\displaystyle B}$ son:

${\displaystyle A={\cfrac {6~c~\cos \phi }{{\sqrt {3}}(3+\sin \phi )}}~;~~B={\cfrac {2~\sin \phi }{{\sqrt {3}}(3+\sin \phi )}}}$

Si la superficie de fluencia de Drucker-Prager queda inscrita en la superficie de fluencia de Mohr–Coulomb, entonces:

${\displaystyle A={\cfrac {6~c~\cos \phi }{{\sqrt {3}}(3-\sin \phi )}}~;~~B={\cfrac {2~\sin \phi }{{\sqrt {3}}(3-\sin \phi )}}}$

Obtención de las expresiones para ${\displaystyle A,B}$ en función de ${\displaystyle c,\phi }$

La expresión para la superficie de fluencia de Mohr-Coulomb en el espacio de Haigh–Westergaard es: ${\displaystyle \left[{\sqrt {3}}~\sin \left(\theta +{\tfrac {\pi }{3}}\right)-\sin \phi \cos \left(\theta +{\tfrac {\pi }{3}}\right)\right]\rho -{\sqrt {2}}\sin(\phi )\xi ={\sqrt {6}}c\cos \phi }$ Si se asume que la superficie de fluencia de Drucker-Prager circunscribe a la superficie de fluencia de Mohr–Coulomb de tal forma que ambas superficies coinciden en ${\displaystyle \theta ={\tfrac {\pi }{3}}}$, entonces en estos puntos la superficie de fluencia de Mohr–Coulomb puede expresarse como: ${\displaystyle \left[{\sqrt {3}}~\sin {\tfrac {2\pi }{3}}-\sin \phi \cos {\tfrac {2\pi }{3}}\right]\rho -{\sqrt {2}}\sin(\phi )\xi ={\sqrt {6}}c\cos \phi }$ O como: ${\displaystyle {\tfrac {1}{\sqrt {2}}}\rho -{\cfrac {2\sin \phi }{3+\sin \phi }}\xi ={\cfrac {{\sqrt {12}}c\cos \phi }{3+\sin \phi }}\qquad \qquad (1.1)}$ El criterio de fluencia de Drucker–Prager expresado en coordenadas de Haigh–Westergaard es: ${\displaystyle {\tfrac {1}{\sqrt {2}}}\rho -{\sqrt {3}}~B\xi =A\qquad \qquad (1.2)}$ Comparando las ecuaciones (1.1) y (1.2), se tiene: ${\displaystyle A={\cfrac {{\sqrt {12}}c\cos \phi }{3+\sin \phi }}={\cfrac {6c\cos \phi }{{\sqrt {3}}(3+\sin \phi )}}~;~~B={\cfrac {2\sin \phi }{{\sqrt {3}}(3+\sin \phi )}}}$ Estas son las expresiones para ${\displaystyle A,B}$ en términos de ${\displaystyle c,\phi }$. Por otro lado, si la superficie de fluencia de Drucker–Prager queda inscrita en la de Mohr–Coulomb, entonces haciendo coincidir las dos superficies en ${\displaystyle \theta =0}$ se obtiene: ${\displaystyle A={\cfrac {6c\cos \phi }{{\sqrt {3}}(3-\sin \phi )}}~;~~B={\cfrac {2\sin \phi }{{\sqrt {3}}(3-\sin \phi )}}}$